点到直线的距离公式

在二维平面上，计算一个点到一条直线的最短距离，我们通常使用点到直线的距离公式。对于给定的点$(x_0, y_0)$和一条具有一般式$Ax + By + C = 0$的直线，这个距离$d$是如何计算的呢？

公式如下：

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

这个公式结构清晰，解释起来也十分直观。

$(x_0, y_0)$代表的就是给定的点的坐标。而$Ax + By + C = 0$则是直线的一般方程式，其中$A$、$B$和$C$是描述直线特性的系数。

在公式中，$|Ax_0 + By_0 + C|$代表的是点$(x_0, y_0)$代入直线方程后得到的值，这是一个有向距离。这个值告诉我们点到直线的垂直距离大小，但不包括方向。为了得到实际的垂直距离，我们需要除以一个因子——直线的法向量长度$\sqrt{A^2 + B^2}$。这个因子实际上是在衡量直线的斜率或方向。

举个例子来说明一下。假设我们有一个点$(3, 4)$和一条直线$2x - y - 5 = 0$。我们确定点的坐标和直线的系数：点$(x_0, y_0) = (3, 4)$，直线系数$A = 2$，$B = -1$，$C = -5$。然后我们将这些值代入公式计算距离：

$d = \frac{|2 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$接着进行计算得到距离值：

$d = \frac{|-3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$点$(3, 4)$到直线$2x - y - 5 = 0$的距离是$\frac{3\sqrt{5}}{5}$。